掌握三角形面積公式 ( triangle area calculation formula ) 的4種方法，讓計算變得更簡單！

隨著數學教育的進步，三角形的面積計算變得愈加重要。三角形作為最基本的幾何形狀之一，無論是在數學課堂上，還是在實際應用中，了解三角形的面積計算方法對於學生和專業人士來說都至關重要。以下將介紹 四種簡化三角形面積計算的方法 ，幫助讀者有效掌握面積公式，並提高計算效率。

1. 基礎公式法

三角形面積最基本的公式便是：

\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}
\]

這一公式適用於所有種類的三角形。 精確測量底邊和高的長度 是至關重要的，但在計算時，很多人可能會忘記高的測量。因此，在計算之前建議使用直角三角形的性質，找到高的測量方式。

三角形類型	底 (cm)	高 (cm)	面積 (平方厘米)
銳角三角形	10	8	\(\frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40\)
直角三角形	6	4	\(\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\)
鈍角三角形	12	5	\(\frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30\)

對於更複雜的三角形，如不規則三角形，可以使用 海龍公式 來計算其面積。海龍公式的計算公式如下：

\[
\text{面積} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]

其中，\(s\)為三角形的半周長，計算方法為：

\[
s = \frac{a + b + c}{2}
\]

### 實例計算

考慮一個邊長分別為5 cm、6 cm和7 cm的三角形，我們首先計算半周長：

\[
s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9
\]

接下來，將值代入海龍公式中計算面積：

\[
\text{面積} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} \approx 14.7 \text{平方厘米}
\]

邊長 (cm)	半周長 \(s\)	面積計算	面積 (平方厘米)
5, 6, 7	9	\(\sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2}\)	14.7
8, 9, 10	13	\(\sqrt{13 \times 5 \times 4 \times 3}\)	24.9
7, 8, 9	12	\(\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3}\)	19.3

對於需要應用在 幾何計算和計算機圖形學 中的三角形面積，使用座標法能更快速地獲得結果。假設一個三角形由三個頂點的坐標 \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)、\((x_3, y_3)\) 定義，其面積公式為：

\[
\text{面積} = \frac{1}{2} | x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) |
\]

### 例如

假設點 A(1, 1)、B(4, 5)、C(7, 2)，則其面積計算如下：

\[
\text{面積} = \frac{1}{2} | 1(5-2) + 4(2-1) + 7(1-5) |
\]

進一步計算為：

\[
= \frac{1}{2} | 3 + 4 – 28 | = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5 \text{平方單位}
\]

頂點	坐標	面積計算	面積 (平方單位)
A(1, 1)	(1, 1)	\(\frac{1}{2} \| 1(5-2) + 4(2-1) + 7(1-5) \|\)	10.5
B(4, 5)	(4, 5)	\(\frac{1}{2} \| 2(6-3) + 5(3-1) + 10(1-6) \|\)	15.0
C(7, 2)	(7, 2)	\(\frac{1}{2} \| 0(1-0) + 3(7-3) + 1(3-1) \|\)	9.0

對於已知邊長和夾角的情況，可以使用 三角函數 來計算三角形的面積。公式如下：

\[
\text{面積} = \frac{1}{2} a b \sin(C)
\]

其中，\(a\)和\(b\)為三角形的兩條邊，\(C\)為它們之間的夾角。

### 實例計算

若邊長 \(a = 5\) cm，\(b = 7\) cm，夾角 \(C = 30^\circ\)：

\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 17.5 \text{平方厘米}
\]

邊長 \(a\) (cm)	邊長 \(b\) (cm)	夾角 \(C\) (度)	面積計算	面積 (平方厘米)
5	7	30	\(\frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin(30^\circ)\)	17.5
6	8	45	\(\frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin(45^\circ)\)	24.0
10	12	60	\(\frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \sin(60^\circ)\)	52.0